Zahl plus ihr Kehrwert

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Satz

Für alle $x \in \mathbb{R}^+$ gilt:

$x + \frac{1}{x} \ge 2$

Gleichheit gilt genau für x=1.

Beweis

Multiplikation mit x liefert $x^2 + 1 \ge 2x$ . Bringt man alles auf eine Seite und fasst zusammen, so erhält man

$(x-1)^2 \ge 0$

und da das Quadrat einer reellen Zahl immer nichtnegativ ist, ist Ungleichung erfüllt. Gleichheit gilt dabei genau für x-1=0, also x=1.

Von „http://www.oemo.at/wiki/index.php/Zahl_plus_ihr_Kehrwert“

Kategorien: Ungleichung | Wikipedialink fehlt

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