Ungleichungs-Beispiele: Fortgeschritten/Lösungen

Beispiel 1

Wenn a, b, c > 0, und abc= 1, beweise, dass $a 2 + b 2 + c 2 > = a + b + c$

$\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \ge \frac{a+b+c}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{3} \ge \frac{(a+b+c)^2}{9}$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{3}$

Den Ausdruck $(a + b + c)$ kann man wiederum durch die AM-GM-Ungleichung abschätzen zu

$(a+b+c) \ge 3\sqrt[3]{abc}$

Es ergibt sich also insgesamt mit $a b c = 1$

$a^2+b^2+c^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{3} \ge \frac{3\sqrt[3]{abc}(a+b+c)}{3} = a+b+c.$

Gleichheit gilt genau für $a = b = c = 1$ .

(Beispiel und ursprüngliche Lösung von Babis Stergiou, Mathematiklehrer aus Chalkida, Griechenland)