Ungleichung-Beispiele: Raach 2003

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Hier sind die Ungleichungbeispiele vom Kurs in Raach 2003. Zusammengestellt von Robert Geretschläger

Inhaltsverzeichnis

1 Blatt 1
2 Blatt 2
3 Blatt 3
4 Blatt 4
5 Blatt 5

Blatt 1

1. Beweise für alle reelen a, b, c, d

$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \ge (a+b+c)\cdot d.$

2. Beweise für alle reellen a, b, c

$\frac{a^2}{4} + b^2 + c^2 \ge ab - ac + 2bc.$

3. Beweise für alle reellen a, b

$a^2 + b^2 + ab \ge 3 \cdot (a+b-1).$

4. Beweise für alle reellen a, b mit $a \ne 0$

$a^2 + b^2 + \frac{1}{a^2} + \frac{b}{a} \ge \sqrt{3}.$

5. Beweise für alle reellen a, b, c

$a^4 + b^4 + c^2 + 1 \ge 2a \cdot (ab^2 - a + c + 1).$

6. Beweise für alle reellen $a 1, a 2, a 3, a 4$

$\sum_{i=1}^4 (a_i + a_{i+1})^2 \ge \sum_{i=1}^4 a_i \cdot (a_{i+1} + a_{i+2}),$

wobei $a 5 = a 1$ und $a 6 = a 2$ gelten soll.

7. Beweise für alle reellen $a_1, a_2, \dots, a_n$

$\sum_{i=1}^{n} a_i^2 - \sum_{i=1}^{n-1} a_ia_{i+1} - a_n + \frac{n}{2(n+1)} \ge 0.$

Blatt 2

8. Beweise für alle positiven, reellen a, b

$\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b}.$

9. Beweise für alle positiven reellen a, b, c mit abc = 1 und $a 3 > 36$

$\frac{a^2}{3} + b^2 +c^2 > ab + bc + ca.$

10. Beweise für alle positiven reellen x, y, z

$4x^2y^2 + (z + x + y)(z + x - y)(z - x + y)(z - x - y) \ge 0.$

11. Beweise für alle positiven reellen x

x 4 - x 2 - 3 x + 4 > 0.

12. Es seien a, b, c, d reelle Zahlen mit $a + b + c + d = 0$ . Ferner seien $P = a b + b c + c d$ und $Q = a c + a d + b d$ . Beweise, dass sicher

$19P + 93Q \le 0 \qquad \textrm{oder} \qquad 19Q + 93P \le 0$

gelten muss.

13. Es seien x und y reelle Zahlen mit $x + y \ge 0$ . Bestimme den kleinstmöglichen Wert des Ausdrucks

x 5 + y 5 - x 4 y + x y 4 + x 2 + 4 x + 7

und die Werte von x und y für welche dieser minimale Wert angenommen wird.

Blatt 3

Blatt 4

Blatt 5

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