Tschebyscheff-Ungleichung

Für diesen Satz fehlt noch ein Beweis!

Satz

Für $1 \le k \le n$ seien <m>x_k,\ y_k</m> reelle Zahlen, und es gelte

$x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_n \mbox{ und } y_1 \le y_2 \le \ldots \le y_n$

oder

$x_1 \ge x_2 \ge \ldots \ge x_n \mbox{ und } y_1 \ge y_2 \ge \ldots \ge y_n$

d.h. die Folgen $< x k >$ und $< y k >$ sind gleich geordnet. Dann gilt:

$\sum_{k=1}^{n}\left( x_k y_k \right) \ge \frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^{n} x_k \right) \left( \sum_{k=1}^{n} y_k \right)$

Sind die Folgen $< x k >$ und $< y k >$ entgegengesetzt geordnet, gilt:

$\sum_{k=1}^{n}\left( x_k y_k \right) \le \frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^{n} x_k \right) \left( \sum_{k=1}^{n} y_k \right)$

Gleichheit gilt in beiden Fällen genau dann, wenn (zumindest) eine der beiden Folgen konstant ist, also wenn gilt:

$x_1 = x_2 = \ldots = x_n \mbox{ oder } y_1 = y_2 = \ldots = y_n.$

Wikipedia: Tschebyschow-Summenungleichung