Summenformeln

Aus ÖMO Wiki

Wechseln zu: Navigation, Suche


Häufige Formeln

Die folgenden Formeln kommen recht häufig vor. Du solltest sie also gut lernen.

Summen von Potenzen:

\sum_{k=0}^{n}k = \frac{(n+1)n}{2}
\sum_{k=0}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\sum_{k=0}^{n}k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}

Geometrische Reihe:

\sum_{k=0}^{n}q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}
\sum_{k=0}^{\infty}q^k = \begin{cases} \frac{1}{1-q}, & \mbox{wenn } \left| q \right| < 1 \\ \infty, & \mbox{wenn } \left| q \right| > 1 \\ \mbox{unbestimmt}, & \mbox{wenn } \left| q \right| = 1 \end{cases}

Harmonische Reihe:

\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k} = \infty

Potenzreihen

Die folgenden Reihen sind sog. Potenzreihen. Sie kommen nicht oft vor, doch man sollte sie einmal gesehen haben.

\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sin(x)
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!} = \cos(x)

Andere

Die folgenden Formeln sind interessant, aber für die Wettbewerbe nicht erforderlich.

\zeta(2) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k^2} = \frac{\pi^2}{12}
\zeta(4) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^4} = \frac{\pi^4}{90}
Wikipedia: Formelsammlung Algebra - Endliche Reihen
Von „http://www.oemo.at/wiki/index.php/Summenformeln“
Persönliche Werkzeuge