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 \frac{n}{ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n} } \leq \sqrt[n]{x_1x_2...x_n} \leq \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \leq \sqrt\frac{x^2_1+x^2_2+...+x^2_n}{n}

Inhaltsverzeichnis

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\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\pi^{4i+1}(4(4i+2)(4i+3)-\pi^2)}{2^{4i+3}(4i+3)!}=1

Landeswettbewerb für Anfänger 2006, Bsp 3:

\sum_{k=\frac{n}{2}+1}^{n}k \cdot(k+1)=\frac{n(n+2)(7n+4)}{24}


n\in{N}_g, n\ge{2}

Deutscher Wettbewerb

Das zweite Beispiel war ja wunderbar einfach. Es würde mich freuen, so etwas als Kurswettbewerbsbeispiel zu bekommen. Meine Lösung: 2008=40^2+20^2+2^2+2^2=20\cdot80+10\cdot40+1\cdot4+1\cdot4


1=\frac{20}{80}+\frac{10}{40}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}

Daran erkennt man auch schon ca., wie ich die Lösung gefunden habe. Lässt sich eine Zahl z als Summe von vier Quadratzahlen a2, b2, c2, d2 darstellen und a, b, c, d gerade sind, kann man leicht eine Lösung finden.z=a\cdot{a}+b\cdot{b}+c\cdot{c}+d\cdot{d}=\frac{a}{2}\cdot2a+\frac{b}{2}\cdot2b+\frac{c}{2}\cdot2c+\frac{d}{2}\cdot2d

\frac{\frac{a}{2}}{2a}+\frac{\frac{b}{2}}{2b}+\frac{\frac{c}{2}}{2c}+\frac{\frac{d}{2}}{2d}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1


Genau so eine Zerlegung lässt sich für 2008 leicht finden.


Pi

\frac{\sqrt{8}}{9801}\cdot{\sum_{n=0}^{\infty}}\frac{(4n)!\cdot(1103 + 26390n)}{(n!)^4\cdot396^{4n}}=\frac{1}{\pi}


\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{16^k}(\frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4}-\frac{1}{8k+5}-\frac{1}{8k+6})= \pi


Landeswettbewerb 2007 für Anfänger, Bsp. 3

\sum_{k=\frac{n}{2}+1}^{n}k\cdot(k+1)=\frac{n(n+2)(7n+4)}{24},n\in\mathbb{N}_g, n\ge 2

Beweis durch vollständige Induktion:

(1) Induktionsvorraussetzung: n = 2

\sum_{k=2}^{2}2\cdot 3=6
\frac{2\cdot (2+2)\cdot (7\cdot 2+4)}{24}=\frac{2\cdot 4\cdot 18}{24}=\frac{144}{24}=6

(2) Induktionsannahme: n\to n+2

(3) Induktionsschluss:

\sum_{k=\frac{n}{2}+2}^{n+2}k\cdot(k+1)=\frac{(n+2)(n+4)(7n+18)}{24}
\sum_{k=\frac{n}{2}+2}^{n+2}k\cdot(k+1)-\sum_{k=\frac{n}{2}+1}^{n}k\cdot (k+1)=\frac{(n+2)(n+4)(7n+18)}{24} - \frac{n(n+2)(7n+4)}{24}
\sum_{k=\frac{n}{2}+2}^{n}(k\cdot(k+1)-k\cdot(k+1))+\sum_{n+1}^{n+2}k\cdot(k+1)-(\frac{n}{2}+1)(\frac{n}{2}+2)=\frac{(n+2)\cdot((n+4)(7n+18)-n(7n+4))}{24}
(n+1)(n+2)+(n+2)(n+3)-(\frac{n}{2}+1)(\frac{n}{2}+2)=\frac{(n+2)\cdot((7n^2+46n+72)-(7n^2+4n))}{24}
(n^2+3n+2)+(n^2+5n+6)-(\frac{n^2}{4}+\frac{3n}{2}+2)=\frac{(n+2)(42n+72)}{24}
24\cdot(\frac{7n^2}{4}+\frac{13n}{2}+6)=42n^2+72n+84n+144
42n^2+156\cdot n+144=42n^2+156\cdot n+144

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Parser-Fehler (Unbekannter Fehler): \begin{align}a&=&b\\c&=&d\end{align}
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