Spielwiese

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$\frac{n}{ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n} } \leq \sqrt[n]{x_1x_2...x_n} \leq \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \leq \sqrt\frac{x^2_1+x^2_2+...+x^2_n}{n}$

Inhaltsverzeichnis

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- 5.1 test
6 formeltest
7 Deutscher Wettbewerb
8 Pi
9 Landeswettbewerb 2007 für Anfänger, Bsp. 3
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Logo des MathThing 2006

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formeltest

$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\pi^{4i+1}(4(4i+2)(4i+3)-\pi^2)}{2^{4i+3}(4i+3)!}=1$

Landeswettbewerb für Anfänger 2006, Bsp 3:

$\sum_{k=\frac{n}{2}+1}^{n}k \cdot(k+1)=\frac{n(n+2)(7n+4)}{24}$

$n\in{N}_g, n\ge{2}$

Deutscher Wettbewerb

Das zweite Beispiel war ja wunderbar einfach. Es würde mich freuen, so etwas als Kurswettbewerbsbeispiel zu bekommen. Meine Lösung: $2008=40^2+20^2+2^2+2^2=20\cdot80+10\cdot40+1\cdot4+1\cdot4$

$1=\frac{20}{80}+\frac{10}{40}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$

Daran erkennt man auch schon ca., wie ich die Lösung gefunden habe. Lässt sich eine Zahl $z$ als Summe von vier Quadratzahlen $a 2$ , $b 2$ , $c 2$ , $d 2$ darstellen und $a$ , $b$ , $c$ , $d$ gerade sind, kann man leicht eine Lösung finden. $z=a\cdot{a}+b\cdot{b}+c\cdot{c}+d\cdot{d}=\frac{a}{2}\cdot2a+\frac{b}{2}\cdot2b+\frac{c}{2}\cdot2c+\frac{d}{2}\cdot2d$

$\frac{\frac{a}{2}}{2a}+\frac{\frac{b}{2}}{2b}+\frac{\frac{c}{2}}{2c}+\frac{\frac{d}{2}}{2d}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1$

Genau so eine Zerlegung lässt sich für $2008$ leicht finden.

Pi

$\frac{\sqrt{8}}{9801}\cdot{\sum_{n=0}^{\infty}}\frac{(4n)!\cdot(1103 + 26390n)}{(n!)^4\cdot396^{4n}}=\frac{1}{\pi}$

$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{16^k}(\frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4}-\frac{1}{8k+5}-\frac{1}{8k+6})= \pi$

Landeswettbewerb 2007 für Anfänger, Bsp. 3

$\sum_{k=\frac{n}{2}+1}^{n}k\cdot(k+1)=\frac{n(n+2)(7n+4)}{24}$ , $n\in\mathbb{N}_g, n\ge 2$

Beweis durch vollständige Induktion:

(1) Induktionsvorraussetzung: $n = 2$

$\sum_{k=2}^{2}2\cdot 3=6$

$\frac{2\cdot (2+2)\cdot (7\cdot 2+4)}{24}=\frac{2\cdot 4\cdot 18}{24}=\frac{144}{24}=6$

(2) Induktionsannahme: $n\to n+2$

(3) Induktionsschluss:

$\sum_{k=\frac{n}{2}+2}^{n+2}k\cdot(k+1)=\frac{(n+2)(n+4)(7n+18)}{24}$

$\sum_{k=\frac{n}{2}+2}^{n+2}k\cdot(k+1)-\sum_{k=\frac{n}{2}+1}^{n}k\cdot (k+1)=\frac{(n+2)(n+4)(7n+18)}{24} - \frac{n(n+2)(7n+4)}{24}$

$\sum_{k=\frac{n}{2}+2}^{n}(k\cdot(k+1)-k\cdot(k+1))+\sum_{n+1}^{n+2}k\cdot(k+1)-(\frac{n}{2}+1)(\frac{n}{2}+2)=\frac{(n+2)\cdot((n+4)(7n+18)-n(7n+4))}{24}$