Satz von Simson

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Satz

Sei $\triangle ABC$ ein Dreieck und $P$ ein beliebiger Punkt. Seien $X, Y, Z$ die Lotfußpunkte von $P$ auf $B C, C A$ und $A B$ . Die Punkte $X, Y$ und $Z$ liegen genau dann auf einer Geraden, wenn $P$ auf dem Umkreis von $\triangle ABC$ liegt.

Beweis

Zu diesem Geometriebeispiel sollte noch eine Skizze erstellt werden.

Um Fallunterscheidungen bezüglich der Anordnungen der Punkte zu ersparen, seien im Folgenden alle Winkel orientierte Winkel modulo 180°.

Da $\angle PXB = \angle PZB = 90^\circ$ , liegen die Punkte $P, X, Z, B$ auf einem Kreis. Nach Peripheriewinkelsatz folgt somit

$\angle ZXP = \angle ZBP = \angle ABP$

Analog erhält man

$\angle YXP = \angle YCP = \angle ACP$

Die Punkte $X, Y, Z$ liegen genau dann auf einer Geraden, wenn $\angle ZXY=0^\circ$

Nun gilt aber $\angle ZXY = \angle ZXP + \angle PXY$

Daher gilt:

$\angle ZXY = 0^\circ$

$\Longleftrightarrow \angle ZXP + \angle PXY = 0^\circ$

$\Longleftrightarrow \angle ZXP - \angle YXP = 0^\circ$

$\Longleftrightarrow \angle ABP - \angle ACP = 0^\circ$

$\Longleftrightarrow \angle ABP = \angle ACP$

Nun gilt aber $\angle ABP = \angle ACP$ genau dann, wenn $A, B, C, P$ auf einem Kreis liegen.

qed.

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