Satz von Liouville

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Für diesen Satz fehlt noch ein Beweis!

Satz

Ist $ζ$ eine algebraische Zahl n-ten Grades ( $n > 1$ ), so gibt es ein $c \in \mathbb{R}^+$ derart, dass die Ungleichung

$\left| \zeta - \frac{p}{1} \right| < \frac{c}{q^n}$

keine Lösung mit ganzen Zahlen $p,\ q$ ( $q > 0$ ) hat.

Berechnung von c

Seien $\zeta_\nu\ (\nu = 1, \ldots, n)$ die (komplexen) Lösungen der Gleichung $a_nx^n + \ldots + a_0 = 0\ (a_\nu \in \mathbb{Z},\ a_n \ne 0)$ , $ζ = ζ 1$ , so wird die Zahl M so gewählt, dass gilt:

$M > \max_{\nu}(1,\ \left| \zeta_\nu \right|)$

Dann kann c beliebig gewählt werden mit

$0 < c < \min\left(M,\ \frac{1}{\left| a_n \right|},\ (3M)^{1-n} \right)$

Wikipedia: Liouvillesche Zahl

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