Polynom-Beispiele: Raach 2003

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Hier sind die Polynombeispiele vom Kurs in Raach 2003. Zusammengestellt von Heinrich Gstöttner.

1. Ein Polynom $P(t) \equiv t^4 + p\cdot t^3 + q\cdot t^2 + r\cdot t + s$ hat die vier Nullstellen a, b, c, d. Bestimme die vier Koeffizienten p, q, r und s.

2.

$P(x) \equiv x^4 + a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d$

Falls die Summe von zwei Nullstellen gleich der Summe der anderen zwei Nullstellen ist, dann gilt:

8 c + a 3 = 4 a b

Zeige dies!

3.

$P(x) \equiv x^3 + px^2 + qx + r$

Falls eine Nullstelle die Summe der beiden anderen ist, welche Beziehung gilt dann zwichen p, q und r?

4. Bestimme das Polynom von kleinstem Grad, welches bei Division durch $(x - 1) 2$ den Rest 5x und bei Division $(x - 2) 3$ den Rest 6x hat!

5. $P(x) \equiv x^3 - px^2 + qx - r$ habe die Nullstellen ${a, b, c}$ .
Bestimme die Polynome der gleichen Form $P(x) \equiv x^3 - sx^2 + tx - u$ mit folgenden Nullstellen:

${a + b, b + c, c + a}$
${a b, b c, c a}$
${a 2, b 2, c 2}$
${a 3, b 3, c 3}$
${a 2 b 2, b 2 c 2, c 2 a 2}$
$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$ und $a 4 + b 4 + c 4$ mithilfe von p, q und r aus.

6. $P(x) \equiv x^3 + qx - r$ habe die Nullstellen ${a, b, c}$ .
Drücke folgende Ausdrücke mithilfe von q und r aus:

$a 2 + b 2 + c 2$
$a 3 + b 3 + c 3$

7. Das Polynom $P(x) \equiv x^5 + px^3 + qx + r$ mit $p, q, r \in \mathbb{R}$ hat fünf verschiedene reelle Nullstellen.
Man zeige, dass dann p negativ sein muss.