Pedal-Dreieck

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Skizze fehlt.png Zu diesem Geometriebeispiel sollte noch eine Skizze erstellt werden.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei \triangle ABC ein Dreieck und P ein beliebiger Punkt. Seien X,Y,Z die Fußpunkte von P auf BC,CA und AB. Das Dreieck \triangle XYZ, welches auch eine Strecke sein kann (siehe Satz von Simson), heißt Pedal-Dreieck des Punktes P im Bezug zum Dreieck \triangle ABC.

Eigenschaften des Pedal-Dreiecks

Für die Seitenlängen des Pedal-Dreiecks gilt (wobei R der Umkreisradius von \triangle ABC ist):

  • YZ = \frac{AP\cdot BC}{2R}
  • ZX = \frac{BP\cdot CA}{2R}
  • XY = \frac{CP\cdot AB}{2R}

Beweis:

Die Punkte A,Z,P,Y liegen auf dem Thaleskreis über AP, somit ist \frac{AP}{2} der Umkreisradius von \triangle AZY. Nach Sinussatz, angewandt auf \triangle AZY, gilt daher:

\sin\alpha = \frac{YZ}{AP}

Andererseits gilt nach Sinussatz, angewandt auf \triangle ABC:

\sin\alpha = \frac{BC}{2R}.

Somit gilt YZ = \frac{AP\cdot BC}{2R}

Die Gleichung für die anderen Seiten folgen analog.


Anwendungen

Von „http://www.oemo.at/wiki/index.php/Pedal-Dreieck“
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