Nulligkeit

Aus ÖMO Wiki

Nulligkeit ist die Ähnlichkeit eines Objektes zur Zahl Null. Sei $\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}$ die Nulligkeitsfunktion, die jedem Objekt, für das die Nulligkeit definiert ist, einen Wert zuordnet. Sie wurde erstmals am 31. Mai 2007 in Raach am Hochgebirge (Österreich) von der Mathematikergruppe Andritsch-Heise entdeckt und als äußerst nützlich empfunden. Die Nulligkeit, auch Unendlichverschiedenheit genannt, ist der Kehrwert der Unendlichheit. Das bedeutet

$\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(x\right)=\frac{1}{\mathfrak{U}\!\!\!{}_{{}_{end}}\left(x\right)}$

Als enorm vereinfachend hat sich herausgestellt, für die Nulligkeitsberechnung die Nulligkeitskonstante $\ddot n=\pi^{e^{Googol}}$ zu verwenden.

Besonders interessant im Zusammenhang mit der Nulligkeit ist die Raach-Konstante $R\!\!A$ (auch Kaiserzahl genannt), für die die Nulligkeit gleich der Unendlichheit ist. Für die Raach-Konstante gilt

$\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(R\!\!A\right)=\mathfrak{U}\!\!\!{}_{{}_{end}}\left(R\!\!A\right)=1$

$R\!\!A=\sqrt[\pi]{\ddot n^e}$

Inhaltsverzeichnis

1 Nulligkeitsberechnung
2 Rechenregeln
3 Praktische Anwendungen
4 Ungelöste Probleme
- 4.1 Stetigkeit der Nulligkeitsfunktion
- 4.2 Die Unendlichheit der Null
5 Weblinks

Nulligkeitsberechnung

Die Nulligkeit der Null

Klarerweise ist die Nulligkeit von Null besonders groß. Sie ist größer als alles, was es gibt. Es gilt daher

$\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(0\right)\gg\infty$

Nulligkeit positiver reller Zahlen

Für positive reelle Zahlen gilt: Je größer die Zahl ist, desto geringer ist ihre Nulligkeit. Im Allgemeinen gilt die Formel

$\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(x\right):=\ddot n\cdot x^{-\frac{\pi}{e}}$

Nulligkeit negativer reller Zahlen

Negative reelle Zahlen unterscheiden sich von ihrem positiven Äquivalent nur durch ein zusätzliches Minus. Im Vergleich zur Unendlichkeit der Zahlen, stellt dies nur einen äußerst kleinen Unterschied dar. Es gilt also

$\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(-x\right)=\ddot n\cdot x^{-\frac{\pi}{e}}-\frac{1}{\infty}=\ddot n\cdot x^{-\frac{\pi}{e}}$

Nulligkeit von Objekten, für die Beträge definiert sind, mit Ausnahme der Null

Für alle Objekte, für die Beträge definiert sind, wie beispielsweise komplexe Zahlen oder Matrizen, gilt: Zusätzliche Informationen zum Betrag sind im Vergleich zur Unendlichkeit der Zahlen irrelevant. Es gilt also

$\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(A\right)=\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(\left|A\right|\right)=\ddot n\cdot \left|A\right|^{-\frac{\pi}{e}}$

Für verschiedene Betragsfunktionen (z.B. beim $p$ -adischen Betrag) gibt es auch andere Nulligkeiten.

Nulligkeit von Unendlichkeiten

Es gilt offensichtlich

$\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(\infty\right)=0$

Nulligkeit von Geometrischen Objekten

Rechenregeln

Multiplikationsregeln

$\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(a\cdot b\right)=\ddot n\cdot \left(a\cdot b\right)^{-\frac{\pi}{e}}=\frac{\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(a\right)\cdot\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(b\right)}{\ddot n}$

$\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(\prod_{i=1}^m x_i\right)=\frac{\prod_{i=1}^m\left(\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(x_i\right)\right)}{\ddot n^{i-1}}\Longleftrightarrow$

$\ddot n^{i-1}\cdot\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(\prod_{i=1}^m x_i\right)=\prod_{i=1}^m\left(\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(x_i\right)\right)$

Divisionsregeln

$\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(\frac1x\right)=\ddot n\cdot \left(\frac1x\right)^{-\frac{\pi}{e}}=\frac{\ddot n^2}{\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(x\right)}$

$\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(\frac{a}{b}\right)=\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(a\cdot\frac{1}{b}\right)=\frac{\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(a\right)\cdot\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(\frac{1}{b}\right)}{\ddot n}=\ddot n\cdot\frac{\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(a\right)}{\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(b\right)}$

Potenzregeln

$\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(a^b\right)=\ddot n\cdot \left(a^b\right)^{-\frac{\pi}{e}}=\ddot n\cdot a^{\frac{-b\cdot\pi}{e}}=\frac{\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(a\right)^b}{\ddot n^{b-1}}\Longleftrightarrow$

$\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(a\right)^b=\ddot n^{b-1}\cdot\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(a^b\right)$

Summenregeln

Für $\left|b\right|<\left|a\right|$ gilt

$\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(a+b\right)=\ddot n\cdot \left(a+b\right)^{-\frac{\pi}{e}}=\ddot n\cdot\sum_{i=0}^\infty\binom{-\frac{\pi}{e}}{i}\cdot a^{-\frac{\pi}{e}-i}\cdot b^i=\sum_{i=0}^\infty\binom{-\frac{\pi}{e}}{i}\cdot\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(a\right)^{1+\frac{i\cdot e}{\pi}}\cdot\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(b\right)^{-\frac{i\cdot e}{\pi}}$

$\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(a-b\right)=\ddot n\cdot \left(a+b\right)^{-\frac{\pi}{e}}=\sum_{i=0}^\infty\left(-1\right)^i\cdot\binom{-\frac{\pi}{e}}{i}\cdot\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(a\right)^{1+\frac{i\cdot e}{\pi}}\cdot\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(b\right)^{-\frac{i\cdot e}{\pi}}$

Praktische Anwendungen

Rechnen mit Unendlichkeiten
Astrophysik ( $\mbox{Teilchendichte während des Urknalls}=\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(0\right)$ )

Ungelöste Probleme

Stetigkeit der Nulligkeitsfunktion

Leider ist die Nulligkeitsfunktion nicht stetig:

$\lim_{x \to 0} \mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(x\right) = \lim_{x \to 0} \ddot n \cdot x^{-\frac{\pi}{e}} = \ddot n \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{\frac{\pi}{e}}} = \ddot n \cdot \infty = \infty \ll \mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(0\right)$ . (rechtsseitiger Limes, da Formel nur für reelle $x > 0$ gilt!)

Dadurch ist es nicht möglich, die Nullwerdung, also die Änderung der Nulligkeit, geschlossen anzuschreiben.

Die Unendlichheit der Null

Intuitiv trifft man leicht voreilig die Annahme, die Unendlichheit $\mathfrak{U}\!\!\!{}_{{}_{end}}\left(0\right)$ sei 0, da die Null nun mal so un-unendlich ist, wie man es sich eigentlich nur vorstellen kann.

Da die einzige bislang gültige Definition der Unendlichheit aber über die Nulligkeit führt (siehe Unendlichheit), und die Nulligkeit $\mathfrak{N}\!\!\!{}_{{}_{ull}}\left(0\right) \gg \infty$ keinen definierten Kehrwert hat, ist es auch nicht möglich, die Unendlichheit der Null eindeutig zu definieren.

Es erscheint daher höchst sinnvoll, eine Unendlichheitskonstante $\ddot u$ einzuführen, deren Kehrwert als $\ddot u := \frac{1}{x} \forall x \gg \infty$ definiert ist.

Für $x \gg \infty$ gilt nun Folgendes: Da $\frac1\infty=0$ , gilt auch $\frac1x\ll0$ . Da aber $x > 0$ , gilt auch $\frac1x>0$ . Für $\ddot u$ bedeutet dies: $0<\ddot u\ll0$

Eine ähnliche Eigenschaft für Zahlen ist aus der Spieltheorie wohlbekannt. Es handelt sich um sie sogenannten surrealen Zahlen, die erstmals von John Conway beschrieben wurden. $\ddot u$ ist sicher ungleich Null, aber auf nicht genauer definierbare Weise größer oder kleiner. In der Spieltheorie wird diese Eigenschaft mit dem "Spiel" $*$ gleichgesetzt, welches von dem Spieler gewonnen werden kann, der gerade am Zug ist. Es gilt daher $\ddot u:=*=\left\{0|0\right\}$ und (ebenso aufgrund der bekannten Eigenschaften von $*$ ) $\ddot u+\ddot u=0$ .