Natürliche Zahlen
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Die natürlichen Zahlen sind die beim Zählen verwendeten Zahlen, also 0, 1, 2, 3, 4, ... . Die Menge der natürlichen Zahlen wird häufig mit dem Symbol 
bezeichnet.
Neben den Grundrechenarten ist die wichtigste Eigenschaft der natürlichen Zahlen, dass sie induktiv und abzählbar sind und daher das Prinzip der vollständigen Induktion in ihnen gilt.
Peano-Axiome
Es gibt verschiedene Arten die natürlichen Zahlen als mathematisches Objekt zu definieren. Sehr häufig geschieht das durch folgende Axiome, die Peano-Axiome genannt werden:
- 0 ist eine natürliche Zahl.
- Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger S(n).
- Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.
- Zwei natürliche Zahlen haben genau dann den gleichen Nachfolger, wenn sie gleich sind.
- Enthält eine Menge M die Zahl 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch stets deren Nachfolger S(n), so enthält M bereits alle natürlichen Zahlen. (Induktionsaxiom)
Auf der so definierten Menge kann man dann die Rechenoperationen induktiv definieren (Anm: dass man das darf ist ein eigener wichtiger Satz!) durch:
- n + 0 = n
- n + S(m) = S(n + m)
bzw.
Ist 0 eine natürliche Zahl?
Obwohl jeder Mathematiker anderer Ansicht ist ob 0 zu der Menge der natürlichen Zahlen gezählt werden soll, oder nicht, ist die Frage im Rahmen der ÖMO mit einem eindeutigen JA zu beantworten. In der entsprechenden ÖNORM (bzw. DIN 5473) ist das nämlich so definiert und Prof. Baron vertritt sehr klar diesen Standpunkt.
Dass sich aber selbst Prof. Baron nicht immer treu ist, zeigte Beispiel 1 des Gebietswettbewerbes 2002, in dem die kleinste natürliche Zahl gesucht war, die eine bestimmte Bedingung erfüllt. Wie man mit einem Blick erkannte, erfüllte 0 die Bedingung. Nach ca. einer halben Stunde im Wettbewerb kam dann die Korrektur, dass 0 in diesem Fall keine natürliche Zahl ist.
Außerhalb der ÖMO, insbesondere bei internationalen Bewerben ist es aufgrund der unterschiedlichen Auffassungen üblich von positiven ganzen (1, 2, 3, ...) und nichtnegativen ganzen (0, 1, 2, ...) Zahlen zu sprechen.
