Hölder-Ungleichung

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Satz

Für 1 \le k \le n seien die x_k,\ y_k nicht negative reelle Zahlen und es gelte für die reellen Zahlen p und q: \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Dann gilt für p > 1

\sum_{k=1}^{n} x_k y_k \le \left( \sum_{k=1}^{n} x_k^p \right)^\frac{1}{p} \left( \sum_{k=1}^{n} y_k^p \right)^\frac{1}{q}.

Für p < 1 (mit p \ne 0 und x_k,\ y_k \ne 0 falls p < 0) gilt die umgekehrte Ungleichung.

Gleichheit gilt genau für {x_k}^p = \lambda {y_k}^q \quad \forall \ 1 \le k \le n\vee y_1=\ldots=y_n=0.

Spezialfälle

Für p = 2 erhält man genau die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung.

Wikipedia: Hölder-Ungleichung
Von „http://www.oemo.at/wiki/index.php/H%C3%B6lder-Ungleichung“
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