Geometrie-Beispiele: Raach 2003, Teil 1

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Geometriebeispiele vom Vorbereitungskurs 2003 in Raach, zusammengestellt von Erich Windischbacher.

1. In einem konvexen Sechseck ABCDEF ist , und . Zeige, dass die Fläche des Dreiecks ACE gleich der Fläche des Dreiecks BDF ist.

2. Gegeben sei ein konvexes Viereck ABCD und im Inneren ein Punkt M. Der Umfang des Vierecks sei u, die Längen seiner Diagonalen d₁, d₂. Zeige, dass die Summe der Abstände von M zu den Ecken des Vierecks nicht größer ist als u + d₁ + d₂.

3. ABC sei ein Dreieck mit der Fläche 1 und B₁, B₂ bzw. C₁, C₂ teilen die Seiten AB bzw. AC in drei gleiche Teile. Bestimme die Fläche des Vierecks, das durch die vier Geraden CB₁, CB₂, BC₁, BC₂ gebildet wird.

4. Es sei ABCD ein beliebiges gegebens konvexes Viereck. Ein Punkt P durchläuft alle Punkte der Seite AB, ein Punkt Q durchläuft unabhängig davon alle Punkt der Seite CD. Ermittle die Menge der Mittelpunkte aller so entstehenden Strecken PQ.

5. Über ein Viereck ABCD werde vorausgesetzt:

1. Es gibt einen Kreis k, auf dem alle vier Punkte A, B, C, D liegen.
2. Die Diagonalen AC und BD stehen aufeinander senkrecht.

Beweise, dass aus diesen Voraussetzungen stets die nachfolgende Aussage folgt:
Das Lot von Mittelpunkt M der Seite AB auf die Seite CD geht durch den Schnittpunkt S der Diagonalen AC und BD.

6. Gegeben sei ein spitzwinkeliges Dreieck ABC. E sei ein Punkt auf der Schwerelinie AD mit D auf BC. F sei die Normalprojektion des Punktes E auf die Strecke BC. M sei ein beliebiger Punkt auf der Strecke EF. N bzw. P seien die Normalprojektionen von M auf die Geraden AC bzw. AB.
Beweise: Die beiden Winkelsymmetralen der Winkel und haben keinen gemeinsamen Punkt.