Gebietswettbewerb 2008, Beispiel 4: Lösung

Aus ÖMO Wiki

Wechseln zu: Navigation, Suche

Angabe

Für jede positive natürliche Zahl n sei

a_n=\sum_{k=n}^{2n} \frac{(2k+1)^n}{k}

Man zeige: an ist für kein n eine natürliche Zahl.

Lösung mit Bertrand'schem Postulat

Da jeder Term (2k+1)^n \equiv 1 \mod k ist, kann man Division mit Rest durchführen und erhält:

a_n = \sum_{k=n}^{2n} \frac{(2k+1)^n}{k} = \sum_{k=n}^{2n} \left(\left[\frac{(2k+1)^n}{k}\right] + \frac{1}{k}\right),

wobei [x] die größte ganze Zahl kleiner oder gleich x ist. Es genügt also zu zeigen, dass \sum_{k=n}^{2n} \frac {1}{k} keine natürliche Zahl ist.

Hierfür kann man das Bertrand'sche Postulat benützen. Es besagt, dass mindestens eine Primzahl existiert, sodass n<p\leq 2n gilt. Bringt man nun den Term \sum_{k=n}^{2n} \frac {1}{k} auf einen gemeinsamen Nenner, so gibt es genau einen Summanden im Zähler, der nicht durch diese Primzahl teilbar ist, während alle anderen sie als Faktor enthalten. Somit ist die Summe nicht durch diese Primzahl teilbar, die aber im Nenner vorkommt.

Von „http://www.oemo.at/wiki/index.php/Gebietswettbewerb_2008,_Beispiel_4:_L%C3%B6sung“
Persönliche Werkzeuge