Gebietswettbewerb 2005, Beispiel 2: Lösung

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Zu diesem Geometriebeispiel sollte noch eine Skizze erstellt werden.

Angabe

Über dem Durchmesser AB wird der Halbkreis h mit dem Mittelpunkt M errichtet. Über MB wird auf der selben Seite der Geraden AB der Halbkreis k errichtet. Seien X und Y Punkte auf k, sodass der Bogen BX eineinhalb mal so groß wie der Bogen BY ist. Die Gerade MY schneidet die Gerade BX in D und den großen Halbkreis h in C. Man zeige, dass Y der Mittelpunkt der Strecke CD ist.

Beweis

Sei N der Mittelpunkt von k.

Aus der Formel für die Bogenlänge folgt, dass

$\angle{BNX} = 1,5\angle {BNY} \Leftrightarrow \angle {YNX} = \frac{\angle{BNY}}{2}$

Sei

$\angle{BNY} = \alpha$ und

$\angle{YNX} = \frac{\alpha}{2}.$

Es gilt:

$\angle{BMY} = \frac {\alpha}{2}$ (Peripheriewinkel über BY)

$\triangle{BMC}$ ist gleichschenkelig (BM=CM=Radius von h)

$\Rightarrow \angle{BCM} = 90 - \frac {\alpha}{4}$

$\angle{XMY}=\frac{\alpha}{4}$ (Peripheriewinkel über XY)

$\angle{MXB} = 90$ (Thales über MB)

$\Rightarrow \angle{MDX} = \angle{BDC} = 90 - \frac{\alpha}{4}$ (Winkelsumme im Dreieck $\triangle{MXD}$ )

Aus Thales über MB folgt $\angle{MYB} = \angle{BYC} = 90$

$\Rightarrow \triangle{BDY} \cong \triangle {BYC}\ da\ \angle{BDY} = \angle{BCY} = 90-\frac{\alpha}{4}\ \wedge\ \angle{DYB} = \angle{BYC}\ \wedge \ beide\ Dreiecke\ haben\ die\ Seite\ BY\ gemeinsam)$

$\Rightarrow DY = CY$

q.e.d.

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