Gebietswettbewerb 2000, Beispiel 3: Lösung
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| Zu diesem Geometriebeispiel sollte noch eine Skizze erstellt werden. |
Angabe
Wir betrachten zwei Kreise k1(M1;r1) und k2(M2;r2) mit z = M1M2 > r1 + r2 und eine gemeinsame äußere Tangente mit den Berührungspunkten P1 und P2 (sie liegen also auf derselben Seite der Verbindungsgeraden M1M2). Wir verändern nun die Radien so, daß ihre Summe r1 + r2 = c konstant bleibt. Welche Menge von Punkten durchläuft der Mittelpunkt der Tangentenstrecke P1P2, wenn r1 von 0 bis c variiert?
Lösung
Es sei H der Halbierungspunkt von M1M2 und A der Mittelpunkt der Mittelpunkt der Tangentenstrecke. Die Radien M1P1 und M2P2 stehen beide auf die Tangente P1P2 normal und sind daher parallel. Nach dem Strahlensatz ist HA ebenfalls parallel zu den beiden Radien und hat eine Länge von
.
Somit ist der Abstand 
von den Radien unabhängig, A liegt daher immer auf einem Kreisbogen um H mit Radius 
. Anfangs- und Endpunkt des Kreisbogens, den
A durchläuft, ergeben sich aus den Extremalwerten für r1 und r2, nämlich r1 = 0 bzw. r2 = 0. Die beiden äußersten Punkte sind daher die Mittelpunkte der Tangentenstrecken von M1 bzw. M2 an die Kreise mit Mittelpunkt M2 bzw. M1 und Radius c.
Bemerkung: wer gerne mit Winkelfunktionen spielt, kann nachrechnen, dass der Öffnungswinkel des von A durchlaufenen Kreisbogens 
ist.
