Dreiecksungleichung

Satz

Seien x und y reelle Zahlen. Dann gilt

$\left|\left|x\right| - \left|y\right|\right| \le |x+y| \le |x| + |y|.$

Links gilt Gleichheit genau für $xy \le 0$ , rechts für $xy \ge 0$ .

Weil alle Seiten nichtnegativ sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung:

$a^2 - 2\left| ab \right| + b^2 \le a^2 + 2ab + b^2 \le a^2 + 2\left| ab \right| + b^2$ .

Das ist äquivalent zur Ungleichung

$-2\left| ab \right| \le 2ab \le 2\left| ab \right|$ ,

welche gilt, weil $-|x| \le x \le |x|$ für alle reellen $x$ .

Wikipedia: Dreiecksungleichung