Bundeswettbewerb 2005, Teil 2, Beispiel 3: Lösung
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| Diese Lösung wurde noch nicht kontrolliert. Wenn Du hinreichende mathematische Bildung hast und den Beweis für richtig befindest, lösche bitte diesen Hinweis. |
| Zu diesem Geometriebeispiel sollte noch eine Skizze erstellt werden. |
Angabe
Im spitzwinkeligen Dreieck ABC wird über der Seite AC als Durchmesser der Kreis k1 und über der Seite BC als Durchmesser der Kreis k2 gezeichnet. Sei E der Fußpunkt der Höhe hb auf AC und F der Fußpunkt der Höhe ha auf BC.
Seien L und N die Schnittpunkte der Geraden BE mit dem Kreis k1 (L auf der Strecke BE) und K und M die Schnittpunkte der Geraden AF mit dem Kreis k2 (K auf der Strecke AF).
Man zeige: KLMN ist ein Sehnenviereck.
Lösung
Wir verwenden folgenden Satz: Falls XYZW ein Sehnenviereck ist und Q der Schnittpunkt von XZ und YW ist, dann gilt 
und umgekehrt, falls dann ist XYZW ein Sehnenviereck.
Nun löst sich das Beispiel von alleine. Es sei CG die Höhe auf AB. Da BE und AF auch beide Höhen sind, müssen sich diese Strecken in einem Punkt H schneiden.
Da F und G beide auf k1 und E und G beide auf k2 liegen, haben wir im Sehnenviereck KCMG, 
und im Sehnenviereck LCNG, 
woraus 
und aus dem Satz folgt, dass KLMN ein Sehnenviereck sein muss.
