Bundeswettbewerb 2005, Teil 1, Beispiel 4: Lösung

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Zu diesem Geometriebeispiel sollte noch eine Skizze erstellt werden.

Angabe

Gegeben sind zwei kongruente gleichseitige Dreiecke ABC und PQR mit parallelen Seiten. Das eine mit der Spitze nach oben, das andere mit der Spitze nach unten. Der Durchschnitt dieser Dreiecke ist ein Sechseck.

Man zeige: Die Diagonalen des Sechsecks haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.

Lösung

Es sei ABC das Dreieck mit der Spitze C nach oben und PQR das mit der Spitze Q nach unten und

$H_1=PR \times AC,\ H_2=PQ \times AC,\ H_3=PQ \times AB,\ H_4=RQ \times AB,\ H_5=RQ \times BC,\ H_6=PR\times BC$

wobei

$XY\times WZ$

der Schnittpunkt der Geraden XY und WZ ist.

Beweisen wir nun dass sich die Geraden

$H_1H_4,\ H_2H_5 \mbox{ und } H_3H_6$

in einem Punkt schneiden. Es sei $L=H_1H_4 \times H_3H_6$ . Die Dreiecke $C H 1 H 6$ und $Q H 4 H 3$ sind kongruent (ABC und PQR sind kongruent und die Seiten sind parallel, somit ist die Höhe von C auf $H 1 H 6$ gleich der Höhe von Q auf $H 3 H 4$ , da die beiden Dreiecke gleichseitig sind, müssen sie auch kongruent sein.)

Somit muss $H 1 H 6 = H 3 H 4$ , $\angle{LH_4H_3}=\angle{LH_1H_6}$ und $\angle{LH_3H_4}=\angle{LH_6H_1}$ , woraus $L H 1 H 6$ und $L H 4 H 3$ kongruent sind.