Bundeswettbewerb 2004, Teil 1, Beispiel 2: Lösung

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Zu diesem Geometriebeispiel sollte noch eine Skizze erstellt werden.

Angabe

Gegeben sei ein einem Kreis eingeschriebenes Sechseck für dessen Seiten gilt:

A B = B C = a, C D = D E = b, E F = F A = c

Man zeige: Es gibt 3 (paarweise disjunkte) Paare von orthogonalen Diagonalen.

Lösung

Bekanntlich gehören in einem Kreis zu gleich langen Sehnen gleich große Umfangswinkel. Da AB = BC ist, haben also die zwei Sehnen AB und BC in unserem Kreis den gleichen Umfangswinkel; diesen bezeichnen wir mit $α$ . Entsprechend sei $β$ der Umfangswinkel der Sehnen CD und DE, und $γ$ der Umfangswinkel der Sehnen EF und FA.

Da das Viereck BDEF ein Sehnenviereck ist, gilt $\angle FBD+\angle FED=180^{\circ}$ . Mit anderen Worten:

$180^{\circ}=\angle FBD+\angle FED$

$=\left(\angle FBE+\angle EBD\right)+\left(\angle FEA+\angle AEB+\angle BEC+\angle CED\right)$ .

Nun ist beispielsweise $\angle FBE$ als Umfangswinkel der Sehne EF gleich $γ$ ; entsprechend ist $\angle EBD=\beta$ , $\angle FEA=\gamma$ , $\angle AEB=\alpha$ , $\angle BEC=\alpha$ und $\angle CED=\beta$ . Damit wird die obige Gleichung zu

$180^{\circ}=\left(\gamma+\beta\right)+\left(\gamma+\alpha+\alpha+\beta\right)$

$=2\left(\alpha+\beta+\gamma\right)$ ;

daraus ergibt sich

$\alpha+\beta+\gamma=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$ .

Bezeichnen wir nun mit P den Schnittpunkt der Strecken BE und DF, dann gilt nach dem Winkelsummensatz im Dreieck PEF folgendes:

$\angle EPF=180^{\circ}-\angle PEF-\angle EFP$ .

Offensichtlich ist $\angle PEF=\angle BEA+\angle AEF=\alpha+\gamma$ (denn $\angle BEA=\alpha$ und $\angle AEF=\gamma$ , wieder als entsprechende Umfangswinkel) und $\angle EFP=\angle EFD=\beta$ . Damit haben wir

$\angle EPF=180^{\circ}-\angle PEF-\angle EFP$

$=180^{\circ}-\left(\alpha+\gamma\right)-\beta=180^{\circ}-\left(\alpha+\beta+\gamma\right)$

$=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$ .

Folglich ist $BE\perp DF$ . Analog zeigt man $DA\perp FB$ und $FC\perp BD$ . Damit sind die geforderten 3 Paare orthogonaler Diagonalen gefunden.

Anmerkung: Weiß nicht, wie die gebräuchlichen Bezeichnungsweisen in Österreich sind, habe mich daher an die mir gewohnten gehalten. Unter anderem habe ich mit nicht-orientierten Winkeln gearbeitet.

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