Bundeswettbewerb 2001, Teil 2, Beispiel 3: Lösung
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| Zu diesem Geometriebeispiel sollte noch eine Skizze erstellt werden. |
Angabe
Gegeben ist das Dreieck ABC mit dem Umkreis k(U,r).
An den doppelt so großen Kreis K(U,2r) wird von den Tangenten parallel zu c=AB jene ausgewählt und mit c' bezeichnet, für die C zwischen c und c' liegt. Analog werden Tangenten a' und b' bestimmt. Das so entstehende Dreieck mit den Seitengeraden a', b', c' sei A'B'C'. Man zeige: Die Verbindungslinien entsprechender Paare von Seitenmittelpunkten der beiden Dreiecke haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.
Lösung
Da die entsprechenden Seitengeraden der Dreiecke ABC und A'B'C' parallel sind und da diese Dreiecke nicht kongruent sind (letzteres ist klar, da das Dreieck ABC immer im Inneren von Dreieck A'B'C' liegt), sind sie zentrisch ähnlich - das heißt, es gibt eine zentrische Streckung, die das Dreieck ABC in das Dreieck A'B'C' überführt. Daher gehen die Verbindunsgeraden entsprechender Seitenmitten der beiden Dreiecke, genauso wie Verbindungsgeraden entsprechender Punkte überhaupt, durch das Streckungszentrum.
