Bundeswettbewerb 2000, Teil 2, Beispiel 4: Lösung
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| Zu diesem Geometriebeispiel sollte noch eine Skizze erstellt werden. |
Angabe
Im spitzwinkeligen, nicht gleichseitigen Dreieck ABC mit dem Winkel 
seien U der Umkreismittelpunkt, H der Höhenschnittpunkt und D der Schnittpunkt der Geraden AH und BC (Höhenfußpunkt der Höhe durch A).
Man zeige, dass die eulersche Gerade HU Winkelsymmetrale des Winkels BHD ist.
Lösung
Es seien E der Fußpunkt der Höhe durch B, M der Mittelpunkt von AC und N der Mittelpunkt von BC.
Da der Winkel in C 60° beträgt, kann man F und G so auf den Geraden AC und BC wählen, dass BFC und AGC gleichseitige Dreiecke sind.
Im gleichseitigen Dreieck BFC ist BE Höhe und damit auch Streckensymmetrale; somit muss E Mittelpunkt von FC sein. Es gilt daher CE = CN und analog auch CD = CM.
Daraus folgt weiters EM = ND. Da AD und die Streckensymmetrale von BC (die durch N und U geht) beide normal auf BC stehen, ist ND ihr Normalabstand. Ebenso haben die Geraden BE und MU den Normalabstand EM = ND.
Die beiden Paare (AD,NU) und (BE,MU) paralleler Geraden haben also denselben Abstand und bilden somit einen Rhombus, von dem U und H gegenüberliegende Ecken sind. Da in einem Rhombus die Diagonalen gleichzeitig Winkelsymmetralen sind, halbiert UH tatsächlich den Winkel in H (genaugenommen beide Scheitelwinkel: BHD und AHE).
