Bundeswettbewerb 2000, Teil 2, Beispiel 2: Lösung
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| Diese Lösung wurde noch nicht kontrolliert. Wenn Du hinreichende mathematische Bildung hast und den Beweis für richtig befindest, lösche bitte diesen Hinweis. |
| Zu diesem Geometriebeispiel sollte noch eine Skizze erstellt werden. |
Angabe
Einem Kreis k ist das Trapez ABCD (Reihenfolge ABCD im Uhrzeigersinn, AB | | CD) eingeschrieben. Auf dem Bogen AB werden zwei Punkte P und Q (
) ausgewählt (Reihenfolge APQB entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn).
Sei X der Schnittpunkt der Geraden CP und AQ und Y der Schnittpunkt der Geraden BP und DQ.
Man zeige, dass P, Q, X und Y auf einem Kreis liegen.
Lösung
Ein Trapez, das einem Kreis eingeschrieben wird, ist gleichschenklig (da die Streckensymmetralen von AB und CD parallel sind, können sie nur dann beide durch den Umkreismittelpunkt gehen, wenn sie zusammenfallen; das Trapez hat damit eine Symmetrieachse). Es gilt also BC = AD. Die Winkel
und 
sind somit Randwinkel über Sehnen derselben Länge (und auf einander entsprechenden Bögen) und daher gleich.
Weil A,P,Q,C in dieser Reihenfolge auf dem Kreis liegen, schneiden sich CP und AQ im Inneren des Kreises und damit im Inneren der Strecken CP und AQ. Analog liegt der Schnittpunkt Y von BP und DQ im Inneren der Strecken BP und DQ. Es gilt somit
.
Nach der Umkehrung des Peripheriewinkelsatzes liegen damit P,Q,X,Y auf einem Kreis, sofern P und Q auf derselben Seite der Geraden durch X und Y liegen.
Sei zum Beweis dieser Tatsache M der Schnittpunkt von CP und DQ. Da A,P,Q,D in dieser Reihenfolge auf dem Kreis liegen, befindet sich X im Inneren des Vierecks APQD (X liegt ja innerhalb der Strecke AQ) und damit auf der Strecke MP (die Gerade CP schneidet den Rand des Vierecks in M und P). Ebenso liegt Y auf der Strecke MQ.
Also liegt X zwischen P und M, somit liegen P und M auf verschiedenen Seiten von XY, und gleiches gilt für Q und M. Das bedeutet aber, dass P und Q auf derselben Seite von XY liegen. Damit ist der Beweis vollständig.
