Arithmetisch-geometrische-Mittelungleichung

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Inhaltsverzeichnis

Satz

Für n positive reelle Zahlen x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n gilt

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i\geq (\prod_{i=1}^{n}x_i)^{\frac{1}{n}}.

Gleichheit gilt genau dann, wenn x1 = x2 = ... = xn ist.

Beweis

Beweis durch Vorwärts-Rückwärtsinduktion:

Induktionsanfang: n = 2:

zu zeigen: \sqrt{x_1x_2}\leq\frac{x_1+x_2}{2}
\Leftrightarrow 4x_1x_2\leq x_1^2+2x_1x_2+x_2^2
\Leftrightarrow x_1^2-2x_1x_2+x_2^2\geq0
\Leftrightarrow \left(x_1-x_2\right)^2\geq0 q.e.d.

Induktionsvoraussetzung: es gilt: \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i\geq (\prod_{i=1}^{n}x_i)^{\frac{1}{n}}

Vorwärtsschritt: n\rightarrow2n

zu zeigen: \sqrt[2n]{\prod_{i=1}^{2n}x_i}\leq\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n}x_i
nach Induktionsanfang und -voraussetzung gilt:
\sqrt{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}*\sqrt[n]{\prod_{i=n+1}^{2n}x_i}} \leq \frac{1}{2}\left(\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}+\sqrt[n]{\prod_{i=n+1}^{2n}x_i}\right) \leq \frac{1}{2n}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i+\sum_{i=n+1}^{2n}x_i\right) = \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n}x_i q.e.d.

Rückwärtsschritt: n\rightarrow n-1

Setze für x_n:=\sqrt[n-1]{\prod_{i=1}^{n-1}x_i}=:g
dann gilt: \frac{1}{n}\left(g+\sum_{i=1}^{n-1}x_i\right) \geq \sqrt[n]{g*g^{n-1}} = \sqrt[n]{g^n} = g
\Leftrightarrow\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1}x_i \geq g-\frac{g}{n} = \frac{ng-g}{n} = \frac{g(n-1)}{n}
\Leftrightarrow\sum_{i=1}^{n-1}x_i \geq g(n-1)
\Leftrightarrow\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}x_i \geq g = \sqrt[n-1]{\prod_{i=1}^{n-1}x_i}

und damit gilt die AM-GM-Ungleichung für alle n.

Spezialfälle

Bei Anfängerwettbewerben werden hauptsächlich die Spezialfälle für n=2 und n=3 gebraucht:

\frac{x_1+x_2}{2}\geq \sqrt{x_1 x_2}\qquad \mbox{ wenn }x_1,x_2\geq 0
\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\geq \sqrt[3]{x_1 x_2 x_3}\qquad\mbox{ wenn }x_1,x_2,x_3\geq 0

Verallgemeinerungen

Die AM-GM Mittelungleichung ist ein Spezialfall der Allgemeinen Mittelungleichung.

Anwendungshinweise

Bei Ungleichungsbeispielen in Anfänger- und Fortgeschrittenenwettbewerben ist eine positive Definitionsmenge oft ein Indikator für die Anwendung einer Mittelungleichung.

Wikipedia: Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel
Von „http://www.oemo.at/wiki/index.php/Arithmetisch-geometrische-Mittelungleichung“
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