Allgemeine Mittelungleichung

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Definition

Sei $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \left\{0\right\}$ . Dann ist das $α$ -Mittel der n positiven reellen Zahlen $x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n$ definiert als:

$M_\alpha = \left( \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{x_k}^\alpha \right)^\frac{1}{\alpha}$

Der Grenzübergang $\lim_{\alpha \rightarrow 0}M_\alpha$ (vgl. Regeln von de l'Hospital) rechtfertigt die folgende zusätzliche Definition:

$M_0 = \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}x_k}$

Satz

Für relle $α < β$ gilt:

$\min_{1 \le i \le n} x_i \le M_\alpha \le M_\beta \le \max_{1 \le i \le n} x_i$

Gleichheit gilt genau dann, wenn alle x_i gleich sind.

Spezialfälle

Harmonisches Mittel $α = - 1$

$M_{-1}= \frac{n}{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k}}$

Geometrisches Mittel $α = 0$ (siehe oben; vgl. Arithmetisch-geometrische Mittelungleichung)

$M_0 = \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}x_k}$

Arithmetisches Mittel $α = 1$ (vgl. Arithmetisch-geometrische Mittelungleichung)

$M_1= \frac{\sum_{k=1}^{n}x_k}{n}$

Quadratisches Mittel $α = 2$

$M_2= \sqrt{\frac{\sum_{k=1}^{n}{x_k}^2}{n}}$

Wikipedia: Ungleichung_vom_arithmetischen_und_geometrischen_Mittel#Ungleichung_der_verallgemeinerten_Mittel

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